Les fameuses formules de construction !!!

Voici donc le défilement d'une conversation sur le sujet qui se déroule sur le forum des GMA :

jrm de creuse commence avec cette proposition :

après m'être cassé la tête en math, je suis arrivé a cela mais ca dois etre faux car j'ai pas pris en compte les forces d'inertie et vu que l'on travail autour d'un axe je pense que les formules sont différentes. je cherche toujours les formules utilisées pour la portée théorique d'un jet.
je néglige les pertes du aux frottements.

M: masse coté bras + contrepoids en Newton a partir de l'axe
m masse du projectile et du bras + fronde en Newton a partir de l'axe
d: longueur fronde
D: distance du bras à partir de l'axe (Dc=distance coté contrepoids; Df: distance coté fronde)

M x Dc = A
m x (Df+d) = B

A-B = force développée (Fd)

Prochaine étape prendre en compte l'inertie et l'effet centrifuge du système...
puis j'espère enfin pouvoir avoir qqch pour calculé enfin ma porté de tir avec cette force et la masse du projectile afin de connaître mes longueur de jet.

si vous avez quelques formules ou connaissance en math physique (ou je suis une quille) merci de votre aide!!

À quoi répond erwan1972 par :

Je suis tomber sur ce forum, et c'est mon premier post, donc bonjour à tous.
je me suis inscrit car je peux vous aider pour ce problème (j'ai beaucoup buché en classe, et cela m'a réussi scolairement).

il suffit d'appliquer le principe fondamentale de la dynamique
somme des forces = m * accélération.

l'équation est à appliquer en deux étapes :
- le projectile est libre
- le projectile est lié à la bricole.

bien sur on va négliger plein de truc (genre il y a du vent, la bricole est ralenti par la viscosité de l'air, le projectile tourne sur lui même, et j'en passe ...)

Je vous fait le cas le plus compliqué (il y a du frottement): projectile libre.

il y a quoi comme force ?

- la pesanteur = m * g
- les forces aérodynamiques que l'on simplifie à 0.5 *rho*S*c*v (orientée en réaction au déplacement)
- c coefficient de pénétration de l'objet dans l'air (en approximent le boulet à une boule, c=0.47)
- rho masse volumique de l'air : 1.2 kg/m3
- S surface frontale projeté de la boule (soir une boule de rayon r alors S = pi r * r)

remarque : 0.5*s*c ne bouge pas (sauf désintégration en vol du projectile) = C

bon, on a tout donc :

m*g - C*v = m*acc

en projetant sur une systéme cartésienne dans une vision classique (pas eulérienne) :

sur la verticale : - mg - C vy = m accy
sur l'horizontale : -C vx = m accx

et comme on a (et je prends la notation ° pour les dérivés)
dérivé de x = vitesse = x° et dérivé de vitesse = accélération =x°°
bien-sur x et y dépend du temps noté t

d'où

- mg - Cy° = m y°°
-C x° = m x°°
comme on sait que l'équation à une solution et que la solution est non nulle (sauf si on tire pas), pas de problème de continuité , intégrabilité , borne et tout le tralala.

donc on intègre les équations :

pour x on a :

x°°/X° = - C/m

la solution est du log donc

ln( x° ) = -(C/m ) t + const1

x° = exponentielle ( -(C/m ) t + const1) = new const1 * exponentielle ( -(C/m ) t )

et on intègre un deuxième coup
donc

x = new new const1 * exponentielle ( -(C/m ) t ) +const2

remarque : à chaque fois la const 1 se transforme en une nouvelle constante (qu'il faudra déterminer avec les conditions initiales)
donc çà sert à rien de l'appeler new new const, const suffit

donc
x = const1 * exponentielle ( -(C/m ) t ) +const2

pour y on a :
- mg - Cy° = m y°°
on pose une nouvelle variable z définie par y° = z -(mg/C)
c'est magique l'équation devient

-Cz = m z°

d'où la même solution :

z° = const3 * exponentielle ( -(C/m ) t )

d'où

y° = -(mg/c) + const3 * exponentielle ( -(C/m ) t )

on intègre de nouveau (pas de difficulté notable ) et on a :

y = const4 - (mg/C)* t + const3 * exponentielle ( -(C/m ) t )

Les constantes de 1à 4 sont à déterminer grâce au conditions initiales c'est à dire quand le projectile quitte la bricole, vitesse et position des deux jeux d'équations sont identiques.

dans le cas lié, on supposera C que l'air n'a que peux d'influence donc C= 0, que le boulet est fixé de manière simple à la bricole (autrement bonjour les calculs à rallonge), que le contre poids est boulonné avec le bras de levier (autrement bonjour les calculs à rallonge)

bien sur les constantes de votre calcul vont être déterminées grâce aux conditions initiales et ce coup ci les conditions, on les connait : vitesse nul et position du boulet au sol à t= 0 seconde !!

à vous de jouer pour la résolution avec la partie lié à la bricole !!!

reste le problème du moment de la séparation du projectile avec la bricole.
il suffit de calculer le moment ou les efforts de contact entre le boulet et la bricole sont nulle à un angle prononcé (car bien sur avant le tir si le boulet repose à terre il y a pas d'effort sur la bricole)

voila le début du calcul et la méthode générale, pour le reste si vous butez je peux vous aider.

Voilà qui complique légèrement la situation pour un non-scientifique tel que moi... Mais erwan1972 revient avec cette suite :

bon, je résiste pas à donner la suite du calcul pour la partie lié.

il faut prendre ce qui suit comme un guide pour faire le calcul avec votre propre bricole.

hypothèse:
- le bras de levier n'a pas de masse
- la masse de la bricole est concentré en un point
- la masse du contre poids est énorme il pèse une tonne
- le boulet a une masse négligeable devant le contre poids
- pas de frottement pas
- de force aérodynamique

donc on a affaire à un simple pendule.
soit R la distance axe de la bricole contre poids et r la distance boulet axe de la bricole.
M la masse du contre poids et m la masse du boulet.

avec les hypothèses il y a pas de perte d'énergie, donc conservation de l'énergie;
d'où

au départ du tir E= M g h
avec
M masse du contre poids
h altitude du contre poids
g la gravité

pour facilité le calcul l'axe est situe en
x=0 (horizontale)
y=0 (verticale)
et u l'angle bras de levier coté contre poids avec l'horizon

avec u0 la position de départ (la bricole est immobile)

d'où la position du contre poids
x =R cos u
y = R sin u

d'où la vitesse

x°= - R u °sin u
y° = R u° cos u

d'où
v*v = (R u°)²

d'où pendant le tir
E = M g h' + 0.5 * M * v *v

il y a pas de perte d'énergie, donc conservation de l'énergie
d'où

Mgh = M g h' + 0.5 * M * v *v

d'où

MgR sin u0 = MgR sin u + 0.5 M (R u°)²

nous avons l'équation, le but est de savoir la position et la vitesse au moment du tir.

d'où la question le boulet se libère car il y a plus rien qui le retient.
mais quand ?

si on analyse bien
le boulet aura un maximum d'énergie quand la séparation est au moment du passage à la verticale, donc un vecteur vitesse horizontal
mais avec un vecteur vitesse horizontal le boulet n'ira pas bien loin
le mieux serait un tir cloche soit une séparation bien avant la vertical.

Cela implique donc que le boulet ne part pas quand il a envie !
c'est le maitre d'arme qui décide du moment cad de l'angle.
pour cela il règle le crochet du panier, plus exactement il l'ouvre ou le ferme plus ou moins

supposons que le moment ou angle idéal soit de 60° + 180° (je vous laisse le soin de trouver cette angle précisément)
oui faire gaffe entre angle contre poids et angle boulet !!!!!!!! (cela correspond à un angle de 60° du boulet avec l'horizon)

donc cos 60 = 0,5
sin 60 = 0,5 * racine carré (3) = 0.86

calcul de la position du boulet (pas du contre poids)
x= 0.5 * r
y = 0.86 * r

calcul de la vitesse

grâce à l'équation nous avons :

MgR sin u0 = MgR sin u + 0.5 M (R u°)²

MgR (sin uo + 0.86) = 0.5 M (R u°)²

2 * g (sin uo + 0.86) = R ( u°)²

d'où u° = racine carré ( 2 * g (sin uo + 0.86) /R)
vitesse du contre poids
x°= R * 0,86 * racine carré ( 2 * g (sin uo + 0.86) /R)
y° = - R * 0,5 * racine carré ( 2 * g (sin uo + 0.86) /R)

d'où pour le boulet (pas le contre poids)
x°= - r * 0,86 * racine carré ( 2 * g (sin uo - 0.86) /R)
y° = r * 0,5 * racine carré ( 2 * g (sin uo - 0.86) /R)

Avec ces quatre valeurs x y x° et y°, vous pouvez déterminer les const 1 à 4 du premier poste.

Attention : pour l'altitude il faut rajouter la hauteur de l'axe au sol !

Tout en disant que la formule se trouve sur Wikipedia via l'adresse suivante :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_simple

Puis en offrant ensuite ce lien, où la formule serait encore plus complète :

http://fred.elie.free.fr/armes_moyen_age.htm

À ce moment, Gilles du Hautbois intervient avec son interprétation :

Un petit hic dans les formules proposées par erwan1972 pour le projectile libre :
la trainée aérodynamique fait intervenir la vitesse au carré 0.5 *rho*S*c*v^2, ça risque de mettre la mouise dans les équations suivantes.

Il existe une bonne approximation de la portée maximale de tir avec frottements aérodynamiques avec cette formule :
Vo^2/g *(1 + 0,5*rho*S*C*Vo^2/mg)^-0,74
Je ne saurais plus redémontrer ça, mais ça marche pas mal, à la condition de négliger la différence de hauteur entre le point de libération du projectile et la cible.

En prenant comme Vo la vitesse donnée par la dernière formule de cette page http://fred.elie.free.fr/armes_moyen_age.htm, on a tout ce qu'il faut pour estimer une portée, en jouant sur les angles pour optimiser.

Ce à quoi répond erwan1972 par :

Effectivement, j'ai oublier de mettre V². Cela se rectifie en remplaçant C par C= 0.5*s*c *vmoy
avec vmoy la vitesse moyenne du tir libre soit vmoy = 0.5*( vitesse de départ - vitesse d'arrivé juste avant de toucher le sol)

voir pour plus d'explication, il pondère vmoy de 90% à 70% soit C= 0.5*s*c *vmoy * (90%à 70%)

En donnant l'adresse suivante en lien :

http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/balistique/theorie_balistique.htm
Où vous trouverez d'ailleurs des graphiques qui aident à visualiser la chose...

erwan1972 revient à la charge en disant que :

L'approximation de V² = Vmoy *V est valable jusqu'à des vitesses faibles (60km/h); dans le cas des bricoles, les vitesses sont plus élevées et la formule serait un peu erronée.

pour parer à cela il faut faire le calcul intégrale avec V². Le calcul me parait super lourds comme çà (je sait pas s'il y a une solution analytique d'ailleurs), mais je vais simplifier un peu et faire l'approximation suivante
on a (en terme de vecteur) :
v = vx +vy
d'où
v*v= (vx + vy )(vx+vy) = vx² + 2vx*vy +vy²
or vx et vy sont orthogonaux , donc vx*vy est nulle (théorème de pythagore)
d'où
v² = vx² +vy²
d'où
F = - 0.5 * rho * S *c* (vx² + vy²)
en projetant sur x et y
pour x
F frottement suivant x = - 0.5 * rho * S *c*( vx² +vy²)* (vx / ( (vx²+vy²)^0.5)
d'où
F frottement suivant x = - 0.5 * rho * S *c*( vx² +vy²)^0.5 * vx
l'approximation est de négligé l'influence de y sur x
soit de dire dans cette équation vy =0

donc d'écrire ( vx² +vy²)^0.5 * vx = vx²

cela revient à dire que
F frottement suivant x = - 0.5 * rho * S *c* vx²

de même pour y avec le même type d'approximation
F frottement suivant y = - 0.5 * rho * S *c* vy²

avec biensur vx = x° et vy = y°

les équations projetées sur x et y sont alors

sur la verticale : - mg - C vy² = m accy
sur l'horizontale : -C vx² = m accx

d'où
- mg - C y°² = m y°°
-C x°² = m x°°

d'où pour x en intégrant une fois (on reconnait la dérivé de 1/x)
-1/x° = (C/m)*t +const1
d'où
x°= -1 /((C/m)*t +const1)
en intégrant de nouveau (on reconnait la dérivé du logarithme)
x = - (m/C) *ln ((C/m) t + const1) +const2

pour y
- mg - C y°² = m y°°
d'où
1/m= y°°/(- mg - C y°²)
en intégrant on reconnait la primitive de tangente
((m/Cg)^0.5)*(pi/180)*arctan( ((Cg/m)^0.5)*y°) = -t +const3
d'où
(m/Cg)^0.5* y° = tan ( (-t +const3)/( ((m/Cg)^0.5)*(pi/180) )
qu'il faut intégrer une fois, on reconnait la primitive de ln (|cos(x)|)
y = (m/C) ln (|cos ( (180/pi)* ((Cg/m)^0.5)*t -const'3) |) + const4

voila j'espère que j'ai pas fait d'erreur car le calcul est un poil plus lourd.

À quoi Gilles du Hautbois revient en affirmant que :

Il n'est pas utile de refaire tous les réglages à chaque usage :

Un premier réglage, optimal, peut être fait à la construction par le bon choix des longueurs et masses relatives, donc toute la géométrie de la machine, ainsi que de l'angle d'ouverture de la fronde, pour obtenir un fonctionnement correct et la portée maximale. Hors combat et sur un terrain adapté, on a tout le temps d'optimiser la masse des projectiles, réutilisables dans ce cas. On peut imaginer l'usage d'abaques, de valeurs empiriques, par habitude ou expérience, ou de méthodes géométriques de construction.

Dès la machine placée en situation, à une distance de la cible au maximum égale à la portée maximale, le seul paramètre sur lequel travailler est l'angle d'ouverture de la fronde, agissant sur l'angle et la vitesse initiale, donc la portée. Quelques tirs suffisent par tâtonnement à ajuster la portée à moindres frais, j'imagine possible au bout de 2-3 heures un pilonnage efficace d'une zone précise, à la dispersion près causée par les variations de masse des projectiles et conditions météo.
Cette technique reste toujours valable, on précalcule une solution de tir, puis on réajuste selon l'effet.

Ce n'est qu'une supposition, et de même on prend l'option d'une machine de siège préfabriquée et transportée/remontée sur place, pas d'une construite pour l'occasion. Cette question avait fait l'objet d'un autre débat il y a quelques années.
Dans ce dernier cas, une machine peut aussi être fabriquée sur place selon les dimensions et plans d'un modèle type déjà testé, et on se retrouve alors dans le cas précédent.

Remarque : le schéma repris de wikipédia sur cette page http://fred.elie.free.fr/armes_moyen_age.htm comporte une erreur. La trajectoire du projectile ne peut en aucun cas passer au point C' d'un arc de cercle à la trajectoire libre représentée (point anguleux physiquement injustifiable), mais forcément à une trajectoire alignée initialement avec la partie finale de l'arc de cercle.
Ainsi, les angles de verge et de fronde au moment de la libération conditionnent directement l'angle initial de trajectoire libre. Pour atteindre la portée maximale, cette libération doit donc intervenir bien avant la verticale pour garder un angle élevé, au détriment d'une légère perte de vitesse, l'énergie potentielle du contrepoids n'ayant pas été totalement récupérée.
Au point de vue énergétique, ce genre de machine montre un rendement honorable malgré les masses mobiles "mortes" très importantes, bien supérieur au catapultes rigides, grâce aux améliorations successives (fronde : multiplication "géométrique" de la vitesse, contrepoids articulé, bras flottant : réduction des effets parasites absorbant une partie de l'énergie).

En effet, les formules mises en oeuvre sont complexes, et restent issues de modèles (solides indéformables, pas de frottements internes...), sinon la résolution en serait impossible.
Dans ce genre de cas complexe une simulation numérique peut donner des résultats satisfaisants à moindres frais, et vu la relative simplicité de réalisation du mécanisme, je me demande même s'il n'est pas préférable d'expérimenter réellement par tâtonnement autour de modèles qui ont marché.
C'est vrai les anciens avaient un savoir-faire que toute notre science a bien du mal à retrouver.

A cause de la mise en mouvement des masses "mortes", le rendement est bien inférieur à 1, si on arrive vers 50% c'est pas mal, d'où des vitesses plus proches de 55 m/s que 76.
Une pierre sphérique de 100 kg est plus proche de 45 cm de diamètre que 60.

Malgré cela, la traînée représente 0,10 à 0,15 g, ce qui entraîne une diminution de portée de plusieurs dizaines de mètres, loin d'être négligeable en rapport avec d'autres approximations.

erwan1972 revient avec ce surplus d'information :

pour ceux que cela intéresse, la résolution sans approximation de l'équation de la balistique extérieure, se fait via la méthode de la "quadrature" (décomposition de fraction polynomiale).

voir le document :

http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1920_3_37_/ASENS_1920_3_37__1_0/ASENS_1920_3_37__1_0.pdf

le principe est de se placer dans un repère d'Euler (lié au projectile)

avec comme repère la tangente à la trajectoire T et sa perpendiculaire N

la position dans ce repère sera pour la vitesse
vN = N°= 0
vT= T°= v

mais pour l'accélération les formules sont
T°° = dv/dt
N°°= -v * d alpha /dt

avec alpha angle entre la trajectoire et l'horizon

d'où les formules fondamentales de la dynamique sont
sur T
m dv/dt = - m g * sin(alpha) - 0.5 s rho c v²
sur N
v d alpha /dt = - g * cos(alpha)
d'où
(1/v) dv/d alpha = tan (alpha) - (0.5 sc v²) / (m g cos (alpha))

appelé aussi équation de l'hodographe

on pose K = (0.5 rho c) /( m g)

alors (1/v) dv/d alpha = tan (alpha) - (K v²) / cos (alpha)

on pose 1/v²= p * q
en fait on remplace une variable (v) par deux variables (p et q)
par différenciation on a -2 d v /(v²*v) = p dq +q dp

or (1/v) dv = (tan (alpha) - (K v²) / cos (alpha) ) *d alpha

d'où -2 * (1/v²) * ( (tan (alpha) - (K v²) / cos (alpha) ) *d alpha) = p dq +q dp

d'où 0 = p ( - 2 q tan (alpha) *d alpha + dq ) +q dp - 2k d alpha / cos (alpha)

on fixe une des variables tel que on annule le terme de p soit - 2 q tan (alpha) *d alpha + dq = 0

d'où dq /q = - 2 tan (alpha) *d alpha qui s'intègre facilement. la solution est q = cos² (alpha)

il reste de l'équation : q dp - 2K d alpha / cos (alpha) =0
or on connait maintenant l'expression analytique de q
d'où
cos²(alpha) dp = 2K d alpha / cos (alpha)
d'où
dp = 2K d alpha / (cos (alpha) )^3
qui s'intègre

donc on connait entièrement v car n'oublions pas 1/v²= p * q

çà y est plus de difficulté notable, on obtient après quelques calculs :
v² =( (v0 *cos(alpha) )²)/ (cos² (alpha) * (1 - (v0²/vlim²) * cos² (alpha 0) * ( ln(tan(alpha/2 + pi/4) )+ sin alpha / cos²(alpha) - (ln(tan(alpha0/2 + pi/4) + sin(alpha0) / cos²(alpha0) )))

avec vlim (mg/(0.5S rho c))^0.5
v0 = vitesse en sortie de trébuchet
et alpha0 angle de sortie du boulet avec l'horizon du trébuchet

d'où on tire pour un repère non eulérien (fixé au trébuchet)
x = x0 + intégral de (v² d alpha) de alpha 0 à alpha
y = y0 + intégral de (v² tangante (alpha) d alpha) de alpha 0 à alpha

bon, là il faut l'intégrer un truc méga lourd, je sait pas si il est possible d'avoir une solution analytique. De toute façon les soft numériques font çà très bien (voir un tableur) compte-tenu de la précision requisse (10 centimètres) et vu les hypothèses simplificatrices faite.

NB1 : cos² (alpha) = cos (alpha) * cos (alpha)
NB2 :d alpha = dérivé partielle (totale exacte) suivant la variable alpha

Tout en affirmant ensuite que :

rentrons maintenant dans le vif du sujet : la porté de tir.
avec un cas sans frottement et en considérant que la hauteur de tir n'entre pas en jeux (hauteur de départ identique à la hauteur d'arrivée)
la portée de tir est TIR = vo²*sin (2*alpha0)/g

au passage, on remarque que l'angle optimal pour une bouche à feu est donc de 45°

coté trébuchet un transferts d'énergie parfait nous avons
M*g*h=0.5*m*vo²

d'où
TIR = 2*g*h*(M/m)*sin (2*alpha0)

avec h la hauteur de chute
la hauteur de chute est lié à l'angle de tir

soit l la longueur entre l'axe du trébuchet et la huche

h= l *( sin (pi/2 - alpha0) - sin (const) )

avec const due à l'angle de départ (nulle par la suite pour simplifier)

d'où h= l* cos (alpha0)

d'où TIR = 2*g*l *cos (alpha0)*(M/m)*sin (2*alpha0)

on en déduit qu'il existe un angle ou la portée est maximisé
c'est à dire quand d TIR /d alpha = 0
soit d ( 2*g*l *cos (alpha0)*(M/m)*sin (2*alpha0) )/d alpha = 0
soit d(cos (alpha0)*sin (2*alpha0)) =0
or sin (2*alpha0) = 2*sin (alpha0)*cos (alpha0)

soit d(cos² (alpha0)* sin (alpha0) ) =0

soit - 2 sin² cos + cos^3 = 0
soit -2 sin² + cos² =0
or cos²+sin²=1
d'où -3 sin² + 1=0
d'où alpha0 = inverse de sin (1/racine carré (3) )
soit alpha0 = 35 degrés
on remarque que l'angle optimal est différent d'une bouche à feu !

on pourrait raffiner le calcul en prenant en compte la hauteur du boulet par rapport au sol
d = v * cos( alpha0) * 1/g * ( v *sin alpha0 + ( (v sin alpha0)^2 + 2g*y0 )^0.5)

y0 = hauteur ou le boulet se sépare du trébuchet

Gilles du Hautbois revient en disant quant à lui que :

Ce choix d'angle pour ma simulation numérique n'était pas un hasard.

La différence avec une arme à énergie indépendante (arc, bouche à feu) est que l'énergie récupérée par le projectile dépend de l'angle de tir. Plus on tarde à le libérer, plus le contrepoids est descendu et a transféré d'énergie. L'angle optimal est donc bien après les 45° habituels en balistique. A l'extrême opposé, l'énergie récupérée est maximale quand l'angle est nul (tir à l'horizontale), mais évidemment dans ce cas la portée sera faible. Le compromis est donc logiquement entre 45 et 0°, restait juste à trouver exactement combien. L'itération par simulation ou la résolution directe donnent le même angle pour ce cas.

Prendre l'hypothèse d'un transfert d'énergie parfait est abusif pour le calcul de la vitesse initiale et de la portée, mais comme le rendement dépend peu de l'angle de tir, c'est acceptable pour le calcul de l'angle optimal. Une fois cet angle fixé, ce n'est plus un problème d'intégrer un rendement dans le transfert d'énergie, du au fait que l'on accélère d'importantes masses "mortes" en plus du projectile. Grossièrement entre 30 et 50%, on peut retenir 40% en première idée. Pas le temps de refaire des calculs ici, mais on devrait retomber sur des vitesses de l'ordre de 45 - 50 m/s et donc des portées de 200 - 250 m.

Ce à quoi erwan1972 répond que :

Le but du trébuchet est un destructeur de muraille. Pour un maximum d'efficacité il faut donc maximiser l'énergie du boulet lors de l'impact;
soit maximiser 1/2 *m*v² à l'impact
l'impact correspond à x et y particulier noté xi et yi; il correspond aussi à un alpha particulier noté alphai comme à une vitesse noté vi

supposons pour simplifier que la cible à viser est à la même hauteur que la hauteur de séparation du trébuchet avec le boulet soit xi =0, nous avont affaire à la porté de tir.

Et supposons :
-un cas sans frottement
-coté trébuchet un transferts d'énergie parfait

nous savons alors que : TIR = vo²*sin (2*alpha0)/g

comme il n'y a pas de perte par frottement, il y a pas de perte d'énergie
d'où E= 1/2 * m *v0² = 1/2*m *vi²
d'où maximiser l'énergie à l'impact c'est équivalent à maximiser l'énergie de départ

or l'énergie de départ est : M*g*h=0.5*m*vo²
avec h= l* cos (alpha0)

il faut exprimer vo² sans la variable alpha0 à l'aide des deux équations
v0² = 2*g*l*cos (alpha0)*(M/m)
et
TIR = vo²*sin (2*alpha0)/g
or 2*sin (alpha0)*cos (alpha0)

d'où
v0² = 2*g*l*cos (alpha0)*(M/m)
et
TIR = vo²*2*sin (alpha0)*cos (alpha0)/g
d'où
v0² = 2*g*l*cos (alpha0)*(M/m)
et
TIR = vo²*2*sin (alpha0)*(v0² /( 2*g*l*(M/m)) )/g

or cos² +sin² =1

donc enfin 1 = v0²/( 2*g*l*(M/m))² + (TIR*g²*l*(M/m) /(vo^4))²

on pose f= g* l* (M/m) et e= TIR*g

d'où
(v0²/2*f)² + (e*f /(vo^4))² =1

on pose z = v0^4

z/(4f²) + e²*f² /z² =1

d'où z^3/(4f²) +e²*f² - z² = 0

d'où z^3+4*e²*f^4 - 4f²z² =0

polynôme du troisième degrés qui a une solution (via la méthode de Cardan)

l'équation z^3 + a.z² + b.z + c = 0

on pose p = b – a²/3 et q = (a/27 )*(2a²- 9b) + c et z = Z – a/3

la solution est Z = (- q/2 + 0.5 *( (4*p^3+27*q² )/27)^0.5 )^1/3 + (- q/2 - 0.5* ((4*p^3+27*q²)/27)^0.5 )^1/3

vo² = une solution méga lourde avec plein de fraction et racine cubique carré mais faisable analytiquement

Par contre on remarque que si M/m augmente alors f augmente et est très supérieure à 1 (comme e)
d'après z^3+4*e²*f^4 - 4f²z² =0 on peux simplifier en
4*e²*f^4 - 4f²z² = 0
d'où
z²= e²b²
z = eb
donc v0^4 =TIR*g *g* l* (M/m)

comme le trébuchet par construction à une longueur l fixe, la gravité est fixe et la distance de TIR est fixe, il faut maximiser M/m.
donc mettre un maximum de poids dans la huche, le réglage de tir se fait uniquement avec l'angle alpha 0 (angle qui a une influence partielle, cette influence provoque une équation délirante).

pour être plus précis il faudrait faire le même raisonnement avec frottement, vi² est connue :
vi² =( (v0 *cos(alphai) )²)/ (cos² (alphai) * (1 - (v0²/vlim²) * cos² (alpha 0) * ( ln(tan(alphai/2 + pi/4) )+ sin alphai / cos²(alphai) - (ln(tan(alpha0/2 + pi/4) + sin(alpha0) / cos²(alpha0) )))
on rajoute l'équation d'énergie
v0² = (M*g*h)/(0.5*m)
on rajoute l'équation de la porté de tir avec frottement on lie alphai et alpha0.
on rajoute la contrainte
maximiser 0.5*m*vi²
avec ces équations on a un systéme d'équation ré solvable

En raisonnant, l'énergie d'impact dépend des pertes par frottement. Les pertes par frottement dépendent de la distance parcourue et de la vitesse initiale. donc les pertes totales dépendent des pertes due à la vitesse initial et des pertes due à l'angle de tir

Intuitivement plus la vitesse initiale est importante plus l'énergie à l'arrivée est importante, donc un maximum de poids dans la huche. Autrement dit l'influence de l'angle (augmentation de la distance parcouru) n'est pas suffisant pour contre carré les gains due à l'augmentation d'énergie de départ.

Ce à quoi Gilles du Hautbois répond :

"Pour un maximum d'efficacité il faut donc maximiser l'énergie du boulet lors de l'impact"

Cette contrainte de départ, d'où découle tout ce post, est incomplète...
Il faut maximiser l'énergie à l'impact (m*v^2), oui, mais aussi la portée (v^2), sinon on se retrouve à tirer à bout portant à l'horizontale et alors autant utiliser un bélier.
De plus on voit en pratique qu'il faut aussi maximiser la quantité de mouvement (m*v) à l'impact pour augmenter les effets de destruction, pas seulement l'énergie. L'influence de la vitesse s'en trouve diminué par rapport à celle de la masse.
On se trouve à vouloir maximiser simultanément m*v, m*v^2, et v^2 !
Ce compromis dépend beaucoup de la cible (élasticité, dureté, rigidité, friabilité...) pas la peine de chercher quelque chose de formel.

Personnellement je préfère comprendre et ressentir le phénomène physique que résoudre des tonnes d'équations, et bien souvent la solution apparaît d'elle même, avec un minimum de calculs.

Bien sûr plus le contrepoids est massif comparé aux masses de structures mobiles, plus on a d'énergie à disposition, mais on est évidemment limité par la résistance de ces structures. En l'absence de matériau plus performant (fibres synthétiques, alliages spéciaux, composites...), une fois la meilleure essence de bois trouvée, il n'y a plus grand chose à gagner de ce côté. Des masses de 15-20 tonnes semblent être le maximum possible à ces époques.

La masse du projectile est un compromis. Très léger, il porte loin mais a peu d'effet. Très lourd, il récupère un maximum d'énergie mais la machine est à portée des défenses. Un rapport de l'ordre de 100 entre la masse du contrepoids et celle du projectile donne de bons résultats en pratique, simultanément en portée et efficacité.

Et quant à l'angle de tir, nos deux méthodes précédentes convergeaient vers 35°, dans le cas retenu. Les résultats (portée,...) montraient alors des valeurs compatibles avec ce que l'on admet des machines historiques.

Que chercher de plus ?
Vu le cumul des incertitudes sur chaque paramètres (penser à toutes les inconnues sur les choses réelles, le bois n'est pas homogène, pas totalement élastique, pas constant,...) on ne peut obtenir que des ordres de grandeur, pas des valeurs béton.
Il n'y a pas de "formule magique" qui donne la configuration idéale du premier coup.

Ouffff.... Que de complexité finalement !!!!

Le Décliqueteur